+7(499)-938-42-58 Москва
+7(800)-333-37-98 Горячая линия

Как решать рациональные уравнения с двумя переменными. Как решать уравнения с дробями

Содержание

Способы решения систем уравнений с двумя неизвестными

Как решать рациональные уравнения с двумя переменными. Как решать уравнения с дробями

Елена Репина 2015-10-09 2019-08-08

Системы линейных уравнений. Метод подстановки 

+ показать

• Выражаем одну переменную через другую.

• Выраженную из одного уравнения переменную подставляем во второе уравнение. Получаем уравнение относительно одной переменной, которое и решаем.

• Опираясь на найденное значение одной переменной, находим значение второй, подставляя в оставшееся уравнение.

Решить систему уравнений: 

Решение: + показать

Из первого уравнения системы выражаем через и подставляем во второе уравнение:

Вторая строка системы – уравнение с одной переменной. Решаем его и найденное значение подставляем в первое уравнение для нахождения .

Ответ:

Системы линейных уравнений. Метод сложения 

+ показать

• Добиваемся, путем равносильных преобразований, наличия равных (или противоположных) коэффициентов при одной из неизвестных переменных в уравнениях.

• Вычитаем (или складываем) полученные уравнения с целью выхода на уравнение с одной неизвестной. 

• Решаем  полученное уравнение с одной неизвестной.

• Найденное значение одной переменной подставляем в любое из уравнений системы, находим значение второй.

1. Решить систему уравнений: 

Решение: + показать

Складываем уравнения системы, заменяя результатом одно из уравнений, оставляя другое.

Ответ:  

2. Решить систему уравнений: 

Решение: + показать

Прежде домножаем первую строку системы , вторую строку системы – на . Вычитаем уравнения системы, заменяя результатом одно из уравнений, оставляя другое.

Ответ:  

Системы уравнений, сводящихся к линейным

1. Решить систему уравнений: 

Решение: + показать

Можно сделать замену и Тогда выходим на систему линейных уравнений:

Систему можно решить методом сложения, например.

Но приведем решение без замены.

Умножим первое уравнение системы на , второе – на и произведем сложение полученных уравнений, оставим при этом в системе, например, первое уравнение исходной системы.

Ответ:  

2. Решить систему уравнений: 

Решение: + показать

Можно сделать замену и выйти на систему линейных уравнений:

Приведем решение без замены.

Выражаем из второго уравнения системы и подставляем в первое.

Ответ:  

Нелинейные системы уравнений. Метод подстановки

Решить систему уравнений: 

Решение: + показать

Выражаем из первого уравнения системы и подставляем во второе.

Ответ:  

Нелинейные системы уравнений. Метод сложения

Решить систему уравнений: 

Решение: + показать

Складываем уравнения системы, заменяя результатом одно из уравнений, оставляя другое.

Ответ:  

Нелинейные системы уравнений. Метод почленного умножения (деления)

1. Решить систему уравнений: 

Решение: + показать

Производим деление первой строки на вторую, оставляем в системе вторую строку без изменений.

Ответ:  

Симметрические системы. Метод введения переменной

Симметрическая система – система, все уравнения которой симметрические. Симметрическое уравнение от двух переменных и – уравнение, которое не изменяется при замене на и на .

Для таких систем удобно использовать замену  

Решить систему уравнений: 

Решение: + показать

При замене  приходим к следующей системе

 которую будем решать способом подстановки:

Производим обратную замену:

Ответ:

Системы однородных уравнений и приводящиеся к ним системы

Однородным уравнением с двумя неизвестными  будем называть уравнение вида

1. Решить систему уравнений: 

Решение: + показать

Первое уравнение системы – однородное. Производим деление первого уравнения системы на (можно и на или ). Заметим, опасности деления на ноль нет.

Первое уравнение системы – квадратное относительно .

Ответ:

2. Решить систему уравнений: 

Решение: + показать

Применим прежде к системе метод сложения. После чего выйдем на однородное уравнение.

Ответ:

Графический метод решения систем уравнений

1. Решите графически систему уравнений: 

Решение: + показать

Выразим в обеих строках системы через :

Первое уравнение системы задает прямую, второе – гиперболу. Строим графики в одной системе координат, находим координаты точек пересечения графиков.

Ответ: 

2. Решите графически систему уравнений: 

Решение: + показать

Первая строка системы задает окружность с центром в точке радиусом .  Вторая строка системы задает прямую .

Находим координаты точек пересечения графиков:

Ответ: 

3. Решите графически систему уравнений: 

Решение: + показать

Первая строка системы задает параболу с ветвями вверх с вершиной в точке .

Так как , то из второй строки системы при условии, что То есть вторая строка системы задает прямую с выколотой точкой 

Ответ: 

Задания для самостоятельной работы

+ показать

Решите системы уравнений:

1.

Ответ:

2. 

Ответ:

3. 

Ответ:

4. 

Ответ:

5. 

Ответ:

6. 

Ответ:

7. 

Ответ:

8. 

Ответ:

Решите графически системы уравнений:

9. 

Ответ:

10. 

Ответ:

egeMax |

Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:

Печать страницы

Источник: https://egemaximum.ru/sposoby-resheniya-sistem-uravnenij-s-dvumya-neizvestnymi/

Решение рациональных уравнений

Как решать рациональные уравнения с двумя переменными. Как решать уравнения с дробями

Рациональные уравнения — это уравнения, содержащие в себе рациональные выражения.

Определение 1

Рациональными выражениями при этом являются выражения, которые возможно записать в виде обыкновенной дроби вида $\frac{m}{n}$, при этом $m$ и $n$ — целые числа и $n$ не может быть равно нулю.

К рациональным выражениям относятся не только выражения, содержащие дроби вида $\frac{2}{3}$, но и выражения, содержащие только целые числа, так как любое целое число можно представить в виде неправильной дроби.

Теперь рассмотрим более подробно, что же такое рациональные уравнения.

Как мы уже упомянули выше, рациональные уравнения — это уравнения, содержащие в себе рациональные выражения и переменные.

Соответственно тому, на каком именно месте стоит переменная в рациональном уравнении, оно может быть либо дробным рациональным уравнением, либо целым рациональным уравнением.

Дробные уравнения могут содержать дробь с переменной только в какой-то одной части уравнения, тогда как целые уравнения не содержат дробных выражений с переменной.

  • Курсовая работа 460 руб.
  • Реферат 270 руб.
  • Контрольная работа 220 руб.

Целые рациональные уравнения примеры: $5x+2= 12$; $3y=-7(-4y + 5)$; $7a-14=256$.

Дробно-рациональные уравнения примеры: $\frac{3x-2}{x+3}+\frac{1}{2}=\frac{5}{x}$; $\frac{7}{2y-3}=5$;

Стоит отметить, что дробно-рациональными уравнениями называются только уравнения, содержащие дробь в знаменателе, так как уравнения, содержащие дробные выражения без переменных, легко сводятся к линейным целым уравнениям.

Как решать рациональные уравнения?

В зависимости от того, имеете ли вы дело с целым рациональным уравнением или с дробным, применяются несколько разные алгоритмы для решения.

Алгоритм решения целых рациональных уравнений

  1. В начале необходимо определить наименьший общий знаменатель для всего равенства.
  2. Затем нужно определить множители, на которые нужно домножить каждый член равенства.
  3. Следующий этап — приведение к общему знаменателю всего равенства.
  4. Наконец, осуществление поиска корней полученного целого рационального равенства.

Пример 1

Решите уравнение: $\frac{5x+9}{2}=\frac{x}{4}$

Сначала найдём общий множитель — в данном случае это число $4$.Для того чтобы избавиться от знаменателя, домножим левую часть на $\frac{2}{2}$, получаем:

$10x+18=x$ — полученное уравнение является линейным, его корень $x=-2$.

Как решать дробно-рациональные уравнения?

В случае с дробными рациональными уравнениями порядок решения похож на алгоритм для решения целых рациональных, то есть сохраняются пункты 1-4, но после нахождения предполагаемых корней в случае использования неравносильных преобразований корни требуется проверить, подставив в уравнение.

Пример 2

Решите дробно-рациональное уравнение: $\frac{x-3}{x-5}+\frac{1}{x}=\frac{x+5}{x \cdot (x-5)}$

Для того чтобы привести дробь к общему знаменателю, здесь это $x \cdot (x-5)$, домножим каждую дробь на единицу, представленную в виде необходимого для приведения к общему знаменателю множителя:

$\frac{(x-3) \cdot x}{(x-5)\cdot x}+\frac{1 \cdot (x-5)}{x \cdot (x-5)}=\frac{x+5}{x \cdot (x-5)}$

Теперь, когда вся дробь имеет общий знаменатель, от него можно избавиться:

$(x-3) \cdot x+(x-5)=x+5$

$x2 – 3x+x-5 = x+5$

$x2-3x-10=0$

Воспользуемся теоремой Виета для решения получившегося квадратного уравнения:

$\begin{cases} x_1 + x_2 = 3 \\ x_1 \cdot x_2 = -10 \\ \end{cases}$

$\begin{cases} x_1=5 \\ x_2=-2 \\ \end{cases}$

Так как преобразование, использовавшееся для упрощения уравнения, не является равносильным, полученные корни необходимо проверить в исходном уравнении, для этого подставим их:

$x_2=-2$:

$\frac{-2-3}{-2-5} +\frac{1}{-2}=\frac{-2+5}{(-2) \cdot (-2-5)}$

$\frac{5}{7}-\frac{1}{2}=\frac{3}{14}$

$\frac{3}{14}=\frac{3}{14}$ — следовательно, корень $x_2=-2$ — верный.

$x_1=5$:

$\frac{5-3}{5-5} +\frac{1}{5}=\frac{5+5}{(-2) \cdot (5-5)}$

Здесь сразу видно, что в знаменателе образуется нуль, следовательно, корень $x_1=5$ — посторонний.

Необходимо помнить, что в случае, если уравнение, содержащее в левой или правой части выражение вида $\frac{m}{n}$ равно нулю, равен нулю может быть только числитель дроби.

Это происходит из-за того, что, если где-то в знаменателе образуется нуль, проверяемый корень не является корнем уравнения, так как всё равенство теряет смысл в этом случае.

Корни, приводящие знаменатель к нулю, называются посторонними.

В случае если дробно-рациональное уравнение имеет довольно сложную форму, для его дальнейшего упрощения и решения возможно использовать замену части уравнения на новую переменную, наверняка вы уже видели примеры таких дробно-рациональных уравнений:

Пример 3

Решите уравнение:

$\frac{1}{x2+3x-3}+\frac{2}{x2+3x+1}=\frac{7}{5}$

Для упрощения решения введём переменную $t= x2+3x$:

$\frac{1}{t-3}+\frac{2}{t+1}=\frac{7}{5}$

Общий знаменатель здесь $5 \cdot (t-3)(t+1)$, домножим на необходимые множители все части уравнения чтобы избавиться от него:

$\frac{5(t+1)}{5(t-3)(t+1)}+\frac{2 \cdot 5(t-3)}{5(t+1)(t-3)}=\frac{7(t+1)(t-3)}{5(t-3)(t+1)}$

$5(t+1)+10(t-3)=7(t+1)(t-3)$

$5t+5+10t-30=7(t2-3t+t-3)$

$15t-25=7t2-14t-21$

$7t2-29+4=0$

Через дискриминант вычислим корни:

$t_1=4;t_2=\frac{1}{7}$

Так как мы использовали неравносильные преобразования, необходимо проверить полученные корни в знаменателе, они должны удовлетворять условию $5(t-3)(t+1)≠0$. Оба корня соответствуют этому условию.

Теперь подставим полученные корни вместо $t$ и получим два уравнения:

$x2+3x=4$ и $x2+3x=\frac{1}{7}$.

По теореме Виета корни первого уравнения $x_1=-4; x_2=1$, корни второго же вычислим через дискриминант и имеем $x_{1,2}=\frac{-3±\sqrt{\frac{67}{7}}}{2}$.

Все корни уравнения составят: $x_1=-4; x_2=1, x_{3,4}=\frac{-3±\sqrt{\frac{67}{7}}}{2}$.

Преобразования для упрощения формы уравнения

Как вы уже могли увидеть выше, для решения рациональных уравнений используют различные преобразования.

Различают преобразования уравнений двух видов: равносильные (тождественные) и неравносильные.

Преобразования называются равносильными, если они приводят к уравнению нового вида, корни которого такие же, как у первоначального.

Тождественные преобразования, которые можно использовать для изменения вида первоначального уравнения без каких-либо проверок в дальнейшем, следующие:

  • Умножение или деление всего уравнения на какое-либо число, отличное от нуля;
  • Перенос частей уравнения из левой части в правую и наоборот.

Неравносильными преобразованиями называются преобразования, в ходе которых могут появиться посторонние корни. К неравносильным преобразованиям относят:

  • Возведение обеих частей уравнения в квадрат;
  • Избавление от знаменателей, содержащих переменную;

Корни рациональных уравнений, решённых с помощью неравносильных преобразований, необходимо проверять подстановкой в исходное уравнение, так как при неравносильных преобразованиях могут появиться посторонние корни. Не всегда неравносильные преобразования приводят к появлению посторонних корней, но всё же необходимо это учитывать.

Решение рациональных уравнений со степенями больше двух

Наиболее часто используемыми методами для решения уравнений со степенями больше двух являются метод замены переменной, рассмотренный нами выше на примере дробно-рационального уравнения, а также метод разложения на множители.

Рассмотрим более подробно метод разложения на множители.

Пусть дано уравнение вида $P(x)= 0$, при этом $P(x)$ — многочлен, степень которого больше двух. Если данное уравнение возможно разложить на множители так, что оно принимает вид $P_1(x)P_2(x)P_3(x)..\cdot P_n(x)=0$, то решением данного уравнения будет множество решений уравнений $P_1(x)=0, P_2(x)=0, P_3(x)=0…P_n(x)=0$.

Пример 4

Решите уравнение: $x3+2×2+3x+6=0$

Вынесем общие множители:

$x2(x+2)+3(x+2)=0$

$(x+2)(x2+3)=0$

После разложения на множители нужно решить уравнения $x+2=0$ и $x2+3=0$. Корень первого $x=-2$, второе уравнение корней не имеет, поэтому $x=-2$ — в данном случае окончательный ответ.

Определение 2

Уравнения, в которых коэффициент при переменной со старшей степенью равен единице, называются приведёнными.

Для приведённых уравнений справедливо следующее:

Если такое уравнение с целыми коэффициентами при переменных имеет рациональный корень, то этот корень непременно является целым числом.

Благодаря такому свойству этих уравнений их можно решать перебором целых делителей свободного члена.

Для тех, кто не помнит: свободный член уравнения — это член уравнений, не содержащий при себе в качестве множителя переменную. При этом найдя один из корней такого уравнения, его можно использовать для дальнейшего разложения уравнения на множители.

Пример 5

Решите уравнение:

$x3+4×2-24=0$

Делителями свободного члена будут числа $±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±8, ±12$ и $±24$. При их проверке подходящим корнем оказался $x=2$. Это значит, что данный многочлен можно разложить с использованием этого корня:$(x-2)(x2+6+12)=0$.

Многочлен во второй паре скобок корней не имеет корней, значит, единственным корнем данного уравнения будет $x=2$.

Другим типом уравнений со степенью больше двух являются биквадратные уравнения вида $ax4+bx2+ c=0$. Такие уравнения решаются путём замены $x2$ на $y$, применив её, получаем уравнение вида $ay2+y+c=0$, а после этого полученное значение новой переменной используют для вычисления исходной переменной.

Также существует ещё один тип уравнений, называемый возвратным. Такие уравнения выглядят так: $ax4+bx3+cx2+bx+a=0$. Такое название они имеют из-за повторения коэффициентов при старших степенях и младших.

Источник: https://spravochnick.ru/matematika/reshenie_racionalnyh_uravneniy/

Алгебра. Урок 4. Уравнения, системы уравнений

Как решать рациональные уравнения с двумя переменными. Как решать уравнения с дробями

Смотрите бесплатные видео-уроки на канале Ёжику Понятно по теме “Уравнения”.

-уроки на канале Ёжику Понятно.

страницы:

Линейные уравнения

Линейное уравнение – уравнение вида a x = b , где x – переменная, a и b некоторые числа, причем a ≠ 0 .

Примеры линейных уравнений:

Линейными уравнениями называют не только уравнения вида a x = b , но и любые уравнения, которые при помощи преобразований и упрощений сводятся к этому виду.

Как же решать уравнения, которые приведены к виду a x = b ? Достаточно поделить левую и правую часть уравнения на величину a . В результате получим ответ: x = b a .

Как распознать, является ли произвольное уравнение линейным или нет? Надо обратить внимание на переменную, которая присутствует в нем. Если старшая степень, в которой стоит переменная, равна единице, то такое уравнение является линейным уравнением.

Для того, чтобы решить линейное уравнение, необходимо раскрыть скобки (если они есть), перенести «иксы» в левую часть, числа – в правую, привести подобные слагаемые. Получится уравнение вида a x = b . Решение данного линейного уравнения: x = b a .

Примеры решения линейных уравнений:

  1. 2 x + 1 = 2 ( x − 3 ) + 8

Это линейное уравнение, так как переменная стоит в первое степени.

Попробуем преобразовать его к виду a x = b :

Для начала раскроем скобки:

2 x + 1 = 4 x − 6 + 8

В левую часть переносятся все слагаемые с x , в правую – числа:

2 x − 4 x = 2 − 1

− 2 x = 1

Теперь поделим левую и правую часть на число ( -2 ) :

− 2 x − 2 = 1 − 2 = − 1 2 = − 0,5

Ответ: x = − 0,5

Это уравнение не является линейным уравнением, так как старшая степень, в которой стоит переменная x равна двум.

Это уравнение выглядит линейным на первый взгляд, но после раскрытия скобок старшая степень становится равна двум:

x 2 + 3 x − 8 = x − 1

Это уравнение не является линейным уравнением.

Особые случаи (в 4 задании ОГЭ они не встречались, но знать их полезно)

Примеры:

Это линейное уравнение. Раскроем скобки, перенесем иксы влево, числа вправо:

2 x − 4 = 2 x − 4

2 x − 2 x = − 4 + 4

0 = 0

И как же здесь искать x , если его нет? После выполнения преобразований мы получили верное равенство (тождество), которое не зависит от значения переменной x . Какое бы значение x мы ни подставляли бы в исходное уравнение, в результате всегда получается верное равенство (тождество). Значит x может быть любым числом. Запишем ответ к данном линейному уравнению.

Ответ: x ∈ ( − ∞ ;   + ∞ )

Это линейное уравнение. Раскроем скобки, перенесем иксы влево, числа вправо:

2 x − 4 = 2 x − 16

2 x − 2 x = − 16 + 4

0 = − 12

В результате преобразований x сократился, но в итоге получилось неверное равенство, так как . Какое бы значение x мы ни подставляли бы в исходное уравнение, в результате всегда будет неверное равенство. А это означает, что нет таких значений x , при которых равенство становилось бы верным. Запишем ответ к данному линейному уравнению.

Ответ: x ∈ ∅

Квадратные уравнения

Квадратное уравнение – уравнение вида a x 2 + b x + c = 0, где x – переменная, a , b и c – некоторые числа, причем a ≠ 0 .

Алгоритм решения квадратного уравнения:

  1. Раскрыть скобки, перенести все слагаемые в левую часть, чтобы уравнение приобрело вид: a x 2 + b x + c = 0
  2. Выписать, чему равны в числах коэффициенты: a = … b = … c = …
  3. Вычислить дискриминант по формуле: D = b 2 − 4 a c
  4. Если D > 0 , будет два различных корня, которые находятся по формуле: x 1,2 = − b ± D 2 a
  5. Если D = 0, будет один корень, который находится по формуле: x = − b 2 a
  6. Если D 0 – будет два различных корня:

    x 1,2 = − b ± D 2 a = − 6 ± 64 2 ⋅ ( − 1 ) = − 6 ± 8 − 2 = [ − 6 + 8 − 2 = 2 − 2 = − 1 − 6 − 8 − 2 = − 14 − 2 = 7

    Ответ: x 1 = − 1, x 2 = 7

    a = − 1, b = 4, c = − 4

    D = b 2 − 4 a c = 4 2 − 4 ⋅ ( − 1 ) ⋅ ( − 4 ) = 16 − 16 = 0

    D = 0 – будет один корень:

    x = − b 2 a = − 4 2 ⋅ ( − 1 ) = − 4 − 2 = 2

    Ответ: x = 2

    a = 2, b = − 7, c = 10

    D = b 2 − 4 a c = ( − 7 ) 2 − 4 ⋅ 2 ⋅ 10 = 49 − 80 = − 31

    D 0 – будет два различных корня.

    x 1,2 = − b ± D 2 a = − 1 ± 25 2 ⋅ 1 = − 1 ± 5 2 = [ − 1 + 5 2 = 4 2 = 2 − 1 − 5 2 = − 6 2 = − 3

    [ x 1 = 2 x 2 = − 3

    1. Указать в ответе корни из числителя, исключив те корни, которые попали в ОДЗ.

    Корни, полученные на предыдущем шаге:

    [ x 1 = 2 x 2 = − 3

    ОДЗ: x ≠ 2

    Значит, в ответ идет только один корень, x = − 3.

    Ответ: x = − 3.

    Системы уравнений

    Системой уравнений называют два уравнения с двумя неизвестными (как правило, неизвестные обозначаются x и y ) , которые объединены в общую систему фигурной скобкой.

    Пример системы уравнений

    { x + 2 y = 8 3 x − y = − 4

    Решить систему уравнений – найти пару чисел x и y , которые при подстановке в систему уравнений образуют верное равенство в обоих уравнениях системы.

    Существует два метода решений систем линейных уравнений:

    1. Метод подстановки.
    2. Метод сложения.

    Алгоритм решения системы уравнений методом подстановки:

    1. Выразить из любого уравнения одну переменную через другую.
    2. Подставить в другое уравнение вместо выраженной переменной полученное значение.
    3. Решить уравнение с одной неизвестной.
    4. Найти оставшуюся неизвестную.

    Пример:

    Решить систему уравнений методом подстановки

    { x + 2 y = 8 3 x − y = − 4

    Решение:

    1. Выразить из любого уравнения одну переменную через другую.

    { x = 8 − 2 y 3 x − y = − 4

    1. Подставить в другое уравнение вместо выраженной переменной полученное значение.

    { x = 8 − 2 y 3 x − y = − 4

    { x = 8 − 2 y 3 ( 8 − 2 y ) − y = − 4

    1. Решить уравнение с одной неизвестной.

    3 ( 8 − 2 y ) − y = − 4

    24 − 6 y − y = − 4

    − 7 y = − 4 − 24

    − 7 y = − 28

    y = − 28 − 7 = 28 7 = 4

    y = 4

    1. Найти оставшуюся неизвестную.

    y = 4

    x = 8 − 2 y = 8 − 2 ⋅ 4 = 8 − 8 = 0

    Ответ можно записать одним из трех способов:

    Ответ:

    1. x = 0, y = 4
    2. { x = 0 y = 4
    3. ( 0 ;   4 )

    Решение системы уравнений методом сложения.

    Метод сложения основывается на следующем свойстве:

    если

    { a = b c = d

    то

    ( a + c ) = ( b + d )

    Идея метода сложения состоит в том, чтобы избавиться от одной из переменных, сложив уравнения.

    Пример:

    Решить систему уравнений методом сложения

    { x + 2 y = 8 3 x − y = − 4

    Давайте избавимся в данном примере от переменной x . Суть метода состоит в том, чтобы в первом и во втором уравнении перед переменной x стояли противоположные коэффициенты.

    Во втором уравнении перед x стоит коэффициент 3 . Для того, чтобы метод сложения сработал, надо чтобы перед переменной x оказался коэффициент ( − 3 ) .

    Для этого домножим левую и правую часть первого уравнения на ( − 3 ) .

    { x + 2 y = 8   |   ⋅ ( − 3 ) 3 x − y = − 4

    { ( − 3 ) ⋅ ( x + 2 y ) = ( − 3 ) ⋅ 8 3 x − y = − 4

    { − 3 x − 6 y = − 24 3 x − y = − 4

    Теперь, когда перед переменной  в обоих уравнениях стоят противоположные коэффициенты, при сложении левых частей уравнений переменная x исчезнет.

    { − 3 x − 6 y = − 24 3 x − y = − 4 ⊕

    ( − 3 x − 6 y ) + ( 3 x − y ) = ( − 24 ) + ( − 4 )

    − 3 x − 6 y + 3 x − y = − 24 − 4

    − 7 y = − 28

    y = − 28 − 7 = 28 7 = 4

    Осталось найти переменную x . Для этого подставим y = 4 в любое из двух уравнений системы. Например, в первое.

    x + 2 y = 8

    x + 2 ⋅ 4 = 8

    x + 8 = 8

    x = 8 − 8 = 0

    Ответ можно записать одним из трех способов:

    Ответ:

    1. x = 0, y = 4
    2. { x = 0 y = 4
    3. ( 0 ;   4 )

    Задание №9 из ОГЭ 2020. Типовые задачи и принцип их решения

    Скачать домашнее задание к уроку 4.

    Источник: https://epmat.ru/modul-algebra/urok-4-uravneniya-sistemy-uravnenij/

    Практика. Решение квадратных и дробно-рациональных уравнений. урок. Алгебра 8 Класс

    Как решать рациональные уравнения с двумя переменными. Как решать уравнения с дробями

    На этом уроке мы потренируемся решать квадратные и дробно-рациональные уравнения, отработаем различные методы их решения.

    Математической моделью практических задач могут быть разные уравнения. В школе мы чаще всего будем сталкиваться с линейными и квадратными уравнениями, которые уже умеем решать. Но иногда могут встречаться и более сложные уравнения.

    Существуют компьютерные алгоритмы, которые позволяют приближенно найти решение практически любого уравнения, а вот точное решение найти удастся не всегда.

    На этом уроке мы рассмотрим некоторые приемы, которые позволяют эквивалентными преобразованиями свести более сложные уравнения к тем, которые мы уже умеем решать, – линейным и квадратным.

    Задание 1. Решить уравнение:

    Решение.

    Воспользуемся свойством степеней  и перепишем уравнение в виде:

    Обратим внимание, что неизвестная величина  присутствует в уравнении только в составе «конструкции» . В таком случае применяют метод замены переменной.

    Суть его состоит в том, что эту повторяющуюся конструкцию мы заменяем новой переменной:

    Заменяя  на , получаем уравнение:

    Получили квадратное уравнение. С его решением вы можете ознакомиться ниже.

    Решение квадратного уравнения с помощью дискриминанта

    Имеем следующее квадратное уравнение:

    Решим уравнение с помощью дискриминанта. Коэффициенты из общего вида квадратного уравнения:

    Тогда:

    Найдем корни квадратного уравнения:

    Ответ: .

    Далее решения линейных и квадратных уравнений не будут разбираться подробно. Внимание будет сконцентрировано на том, как свести более сложное уравнение к линейному или квадратному. Если же у вас возникают проблемы при решении линейных или квадратных уравнений, пересмотрите соответствующие уроки:

    Решаем уравнение, получаем корни:

    Мы нашли значения . Но в исходном уравнении фигурировала переменная , и решить уравнение – значит, найти значения . Вернемся к замене:

    Тогда:

    Получили два квадратных уравнения. Первое уравнение  имеет два решения:

    Второе уравнение не имеет действительных корней.

    Ответ: .

    В процессе решения нам пришлось дважды решать квадратные уравнения: сначала для переменной , затем для переменной . Поэтому такие уравнения, в которых присутствуют только -я и -я степень неизвестной, а также свободный член, называются биквадратными уравнениями, т. е. «дважды квадратными»:

    Теперь перейдем к решению дробно-рациональных уравнений. По названию понятно – это те уравнения, которые содержат в себе дробно-рациональные выражения. Если вы забыли, что это за выражения и как с ними работать, рекомендуем пересмотреть соответствующий видеоурок: «Дробно-рациональные выражения».

    При решении дробно-рациональных уравнений важно:

    1. в самом начале найти ОДЗ выражений, которые встречаются в уравнении;
    2. после нахождения корней нужно проверить, входят ли они в ОДЗ.

    Рассмотрим несколько примеров простейших дробно-рациональных уравнений.

    Задание 2.Решить уравнение:

    Решение.

    Знаменатель дроби не должен равняться нулю, т. е. ОДЗ:

    Поскольку , можем умножить обе части уравнения на , чтобы избавиться от дроби, тогда:

    Получили линейное уравнение, решением которого является x = -3. Это решение входит в ОДЗ.

    Ответ: -3.

    Задание 3.Решить уравнение:

    Решение.

    Выпишем ОДЗ:

    Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части уравнения на . Мы это можем сделать, поскольку , тогда:

    Раскроем скобки, перенесем все слагаемые в одну сторону, приведем подобные слагаемые. Получим квадратное уравнение:

    Найдем корни этого уравнения:

    Первый корень не входит в ОДЗ. Поэтому  не является решением уравнения.

    Ответ: .

    Решим более сложные дробно-рациональные уравнения.

    Задание 4. Решить уравнение:

    Решение.

    Выпишем ОДЗ:

    Решим каждое из этих неравенств:

    Можем объединить эти неравенства в одно:

    Перенесем все слагаемые в одну сторону:

    Выполним сложение дробей – для этого разложим знаменатели на множители:

    Приведем все дроби к общему знаменателю :

    Тогда:

    Дробь равна , если ее числитель равен :

    Раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые, получаем квадратное уравнение:

    Найдем корни квадратного уравнения:

    Корень  не входит в ОДЗ.

    Ответ:

    Отметим, что для решения дробно-рациональных уравнений можно использовать разные способы. Первый – это умножить обе части уравнения на некоторые выражения так, чтобы избавиться от дробей. Таким способом мы решили первые два примера с дробно-рациональными выражениями.

    Второй способ – перенести все слагаемые в одну сторону, преобразовать выражение и приравнять числитель полученной дроби к нулю. Так мы решили последний пример. Вы можете выбрать тот способ, который вам удобнее и понятнее. Главное в каждом из них – не забывать про ОДЗ.

    Задание 5. Решить уравнение:

    Решение.

    Выпишем ОДЗ:

    Решим эти неравенства:

    Обратим внимание, что неизвестная  присутствует в уравнении в похожих конструкциях , которые являются взимнообратными выражениями. В таком случае можно применить метод замены переменной:

    Тогда:

    Исходное уравнение будет иметь вид:

    Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части уравнения на , при этом , поскольку :

    Получили квадратное уравнение, решениями которого являются:

    Вернемся к замене:

    Решаем первое уравнение:

    Решаем второе уравнение:

    Полученные корни удовлетворяют ОДЗ.

    Ответ:.

    Задание 6. Решить уравнение:

    Решение.

    Выпишем ОДЗ:

    В подобных уравнениях стандартной является замена:

    Чтобы выразить  через , произведем следующие действия:

    После замены исходное уравнение будет иметь вид:

    Преобразуя это выражение, получаем квадратное уравнение:

    Найдем корни уравнения:

    Вернемся к замене:

    Поскольку , можем умножить обе части каждого из уравнений на  и получить квадратные уравнения:

    Первое уравнение имеет решения:

    Оба решения удовлетворяют ОДЗ. Второе уравнение не имеет вещественных корней.

    Ответ: .

    Теперь перейдем к решению иррациональных уравнений. Так называются уравнения, которые содержат операцию извлечения корня из переменной.

    Задание 7. Решить уравнение:

    Решение.

    Как мы знаем, выражение  имеет смысл только для значения . Поэтому ОДЗ для данного уравнения будет следующей:

    Чтобы привести иррациональное уравнение к линейному или квадратному, нужно избавиться от иррациональности. В данном случае – избавиться от квадратного корня. Для этого воспользуемся свойством корня:

    Возведем обе части уравнения в квадрат:

    Получили линейное уравнение, корнем которого является:

    Полученное значение входит в ОДЗ:

    При решении уравнения мы возвели обе части уравнения в квадрат, при этом могли возникнуть посторонние корни, т. е. те, которые не являются решением исходного уравнения.

    Посторонние корни

    Операция возведения в квадрат обеих частей равенства не является равносильным преобразованием. При применении этой операции можно получить из неправильного равенства правильное. Например, равенство  очевидно неправильное. Но при возведении в квадрат получим правильное:

    При этом из правильного равенства мы не получим неправильное, ведь если числа равны, то их квадраты также равны.

    Поэтому любой корень исходного уравнения является корнем уравнения, полученного после возведения в квадрат обеих частей. Но не все корни полученного уравнения являются корнями исходного. Могут возникнуть посторонние корни.

    Чтобы исключить их, проще всего выполнить проверку, подставив полученные значения в исходное уравнение.

    Выполним проверку. Подставим полученный корень в исходное уравнение:

    Мы получили правильное равенство, значит,  является решением уравнения.

    Ответ: .

    Задание 8. Решить уравнение:

    Решение.

    Подкоренные выражения должны быть неотрицательными. Поэтому ОДЗ будет следующей:

    Возведем обе части уравнения в квадрат:

    После преобразования получим квадратное уравнение:

    Найдем корни уравнения:

    Проверим, входят ли корни в ОДЗ.

    :

    Неравенство неверное, значит, корень  не входит в ОДЗ и не является решением исходного уравнения.

    :

    Корень входит в ОДЗ.

    Теперь выполним проверку, подставив  в исходное уравнение:

    Получили правильное равенство, следовательно, исходное уравнение имеет один корень .

    Ответ:.

    Заключение

    Итак, сегодня мы познакомились с некоторыми приемами, которые позволяют свести уравнения высших порядков, дробно-рациональные и иррациональные уравнения к квадратным и линейным уравнениям.

    Список литературы

    1. Никольский С.М., Решетников Н.Н., Потапов М.К., Шевкин А.В. Алгебра, 8 класс. Учебник. – М.: ФГОС, издательство «Просвещение», 2018.
    2. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. Алгебра, 8 класс. Учебник. – М.: «Просвещение», 2018.
    3. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б./Под ред. Теляковского С.А. Алгебра, 8 класс. Учебник. – М.: «Просвещение», 2018.

    Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

    Домашнее задание

    1. Решить биквадратное уравнение:

    2. Решить дробно-рациональное уравнение:

    3. Решить иррациональное уравнение:

    Источник: https://interneturok.ru/lesson/algebra/8-klass/kvadratnye-uravneniya-prodolzhenie/praktika-reshenie-kvadratnyh-i-drobno-ratsionalnyh-uravneniy

    Рациональные уравнения. Подробная теория с примерами

    Как решать рациональные уравнения с двумя переменными. Как решать уравнения с дробями

    Важное замечание!
    Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».

    Определение рационального уравнения Разберемся что такое рациональные уравнения, а что – иррациональные Целые рациональные уравнения Дробно рациональные уравнения Алгоритм правильного решения рациональных уравнений РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. СРЕДНИЙ УРОВЕНЬ. Рациональные уравнения. краткое изложение и основные формулы

    Определение рационального уравнения

    Рациональные уравнения – это уравнения, в которых и левая, и правая части рациональные выражения. 

    Ну… это было сухое математическое определение и слово-то какое, «рациональные».

    А по сути, рациональные выражения это просто целые и дробные выражения без знака корня.

    Что же получается?

    А получается что под пугающим «рациональным уравнением» скрывается всего лишь уравнение, в котором могут присутствовать сложение, вычитание, умножение, деление и возведение в степень с целым показателем, но НЕ корень из переменной.

    Разберемся что такое рациональные уравнения, а что – иррациональные

    Как думаешь, какое это уравнение?

    Тут есть сложение, умножение, нет корней, и степеней никаких – рациональное!

    А это?

    Вот тебе и корень из переменной, значит уравнение НЕ рациональное (или иррациональное).

    Что скажешь насчет этого?

    А это – рациональное.

    А здесь?

    Тут вот степень, но она с целым показателем степени ( – целое число) – значит это тоже рациональное уравнение.

    А вот это с отрицательным показателем степени?

    Даже уравнение с отрицательным показателем степени тоже является рациональным, ведь по сути  , это  

    Ну и вот это?

    Тоже рациональное, т.к.  

    И последней с дробной степенью?

    А с ним поосторожнее, степень-то дробная, а по свойству корней  

    Как ты помнишь корня в рациональных уравнениях не бывает.

    Надеюсь, теперь ты сможешь различать, к какому виду относится уравнение.

    Целые рациональные уравнения

    Важно знать, что рациональные уравнения в свою очередь тоже разные бывают.

    Если в дроби нет деления на переменную (то есть на  ,   и т.д.), тогда рациональное уравнение будет называться целым (или линейным) уравнением.

    Вот примеры:

    Умеешь такие решать? 

    Конечно, умеешь, упрощаешь и находишь неизвестное. Но, рассмотрим первый из примеров на всякий случай.

    Пример 1

    Все неизвестные переносим влево, все известные вправо:

     ;

    Какой наименьший общий знаменатель будет?

    Правильно  !

    Чтоб к нему привести домножаем и числитель и знаменатель первого слагаемого на  , а второго на  ,

    А   не трогаем, оно нам не мешает, имеем:

      ,

    А теперь делим обе части на  :

    Тут все просто?

    Поскольку уравнение целое, что мы уже определили, то и ограничений никаких нет,  , так  

    Можно для верности подставить этот ответ в исходное уравнение, получим  , значит все верно и ответ подходит.

    Дробно рациональные уравнения

    А вот еще одно уравнение  .

    Это уравнение целое?

    НЕТ!!!

    Тут есть деление на переменную  , а это говорит о том, что уравнение не целое.

    Тогда какое же оно?

    Это дробно рациональное уравнение.

    Дробно рациональное уравнение – рациональное (без знака корня) уравнение, в котором левая или правая части являются дробными выражениями.

    На первый взгляд особой разницы не видно…

    Ну давай попробуем решать его как мы решали целое (линейное) уравнение.

    Для начала найдем наименьший общий знаменатель, это будет  .

    Важный момент!!!

    В предыдущем примере, где было целое уравнение мы не стали свободный член   приводить к знаменателю, т.к. умножали все на числа без переменных. 

    Но тут-то наименьший общий знаменатель  .

    А это тебе не шутки, переменная в знаменателе!

    Решая дробно рациональное уравнение, обе его части умножаем на наименьший общий знаменатель!

    Это надеюсь, ты запомнишь, но давай посмотрим что вышло:

     .

    Что-то оно огромное получилось, надо все посокращать:

     .

    Раскроем скобки и приведем подобные члены:

    Ну как, это уже попроще выглядит, чем в начале было?

    Выносим за скобку общий множитель:  

    У этого уравнения два решения, его левая сторона принимает нулевое значение при   и  .

    Вроде бы все, ну ладно давайте напоследок подставим корни   и   в исходное уравнение, чтобы проверить, нет ли ошибок.

    Сначала подставим  , получается   

    Нет претензий?

    С ним все нормально.

    А теперь  , и тут же видим в знаменателе первого члена  !

    Но ведь это же будет ноль!

    На ноль делить нельзя, это все знают, в чем же дело???

    Дело в ОДЗ! (если забыл что это, повтори тему «ОДЗ») – 

    Области Допустимых Значений

    Всякий раз когда ты видишь уравнение, где есть ПЕРЕМЕННЫЕ в знаменателе, прежде всего, нужно найти ОДЗ.

    Найти какие значения может принимать икс.

    Хотя удобнее в ОДЗ написать чему икс НЕ может быть равен, ведь таких значений не так много, как правило.

    Просто запомни, что на ноль делить нельзя!

    И перед тем как решать наше уравнение нам следовало сделать так:

    ОДЗ:   и     и  .

    Если бы мы сразу так написали, то заранее бы знали, что эти ответы стоит исключить.

    И так, из полученных нами   и   мы смело исключаем  , т.к. он противоречит ОДЗ.

    Значит, какой ответ будет у решенного уравнения?

    В ответ стоит написать только один корень,  .

    Стоит заметить, что ОДЗ не всегда сказывается на ответе. 

    Возможны случаи, когда корни, которые мы получили, не попадают под ограничения ОДЗ.

    Но писать ОДЗ в дробно рациональных уравнениях стоит всегда – так просто спокойнее, что ты ничего не упустил и да,

    ВСЕГДА по окончании решения сверяй свои корни и область допустимых значений!

    Алгоритм правильного решения рациональных уравнений

    1. Понять, точно ли перед тобой рациональное уравнение (убедись, что в нем нет корней);
    2. Определить ОДЗ;
    3. Найти общий знаменатель дробей и умножить на него обе части уравнения;
    4. Решить получившееся целое уравнение;
    5. Исключить из его корней те, которые обращают в ноль знаменатель дробей.

    Усвоил, говоришь? Вот тебе 3 примера на закрепление.

    РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. СРЕДНИЙ УРОВЕНЬ

    Рациональное выражение – это алгебраическое выражение, составленное из чисел и переменной   с помощью операций сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в степень с натуральным показателем.

    Ну а рациональное уравнение – это равенство двух рациональных выражений.

    Дробно рациональные уравнения — рациональные (без знака корня) уравнения, в которых левая или правая части являются дробными выражениями.

    Например:

    Чаще всего мы встречаем именно дробно рациональные уравнения.

    В общем случае при решении рациональных уравнений мы стремимся преобразовать его к виду: 

    Произведение = ” ” или Дробь = ” “, например:

     .

    Тогда мы сможем сказать, что любой из множителей числителя может быть равен нулю, но знаменатель при этом нулю не равен.

    Для этого нам нужно сначала всё перенести в левую часть уравнения (не забываем при этом поменять знаки между слагаемыми: ” ” на ” ” и наоборот).

    Затем мы обычно приводим все к общему знаменателю, и пишем систему:

    Пример 5

    Если знаменателя нет, или он является числом, – тем лучше, не придется решать неравенство.

    Как бы то ни было, в ЕГЭ все рациональные выражения степени больше   легко преобразуются в произведение более простых выражений при помощи либо перегруппировки, либо замены переменных (см. раздел «Разложение многочлена на множители»).

    Пример 6

    Перегруппируем:

    Раскроем скобки в каждой группе:

    Сделаем замену:

    Тогда:

      .

    Решив квадратное уравнение, получим:

    Обратная замена:

    Таким образом, нам пришлось решить три квадратных уравнения вместо одного уравнения 4-й степени.

    Еще примеры дробно рациональных уравнений (реши их самостоятельно):

    Пример 8

    2.  

    Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю, разложим знаменатель правой дроби на множители.

    Это квадратный трехчлен, поэтому надо вспомнить, как расклажывать на множители (подробное описание см. в разделе «Разложение на множители»).

    Для этого найдем корни соответствующего квадратного уравнения:

     .

    Решаем его с помощью теоремы Виета: произведение корней равно  , а сумма  .

    Подбором устанавливаем, что это числа   и  .

    Тогда:

     Теперь видно, что знаменатели дробей имеют общий множитель  :

     При таком раскладе очевидно, что корней вообще нет.

    Если  , получим деление на  .

    Значит, ответом здесь будет пустое множество (пишется  ).

    Ответ:  .

    Пример 9

    3.  

     Сперва уростим выражение в левой части, то есть приведем к нормальному «двухэтажному» виду:

     Теперь переносим все в одну сторону и приводим к общему знаменателю.

    Квадратный трехчлен в левой части раскладывается на множители следующим образом:

     Очевидно, что общих множителей у знаменателей нет, поэтому их нужно просто перемножить:

    Ответ:  .

    Рациональные уравнения. краткое изложение и основные формулы

    Рациональное уравнение – это равенство двух рациональных (без знака корня) выражений.

    Алгоритм решения рациональных уравнений:

    1. Понять, точно ли это рациональное уравнение (убедись, что в нем нет корней);
    2. Определить ОДЗ;
    3. Найти общий знаменатель дробей и умножить на него обе части уравнения;
    4. Решить получившееся целое уравнение;
    5. Исключить из его корней те, которые обращают в ноль знаменатель дробей.

    Дробно рациональное уравнение – рациональное (без знака корня) уравнение, в котором левая или правая части являются дробными выражениями.

    Система для решения дробно рациональных уравнений: 

     .

    ОСТАВШИЕСЯ 2/3 СТАТЬИ ДОСТУПНЫ ТОЛЬКО УЧЕНИКАМ YOUCLEVER!

    Стать учеником YouClever,

    Подготовиться к ОГЭ или ЕГЭ по математике по цене “чашка кофе в месяц”, 

    А также получить бессрочный доступ к учебнику “YouClever”, Программе подготовки (решебнику) “100gia”, неограниченному пробному ЕГЭ и ОГЭ, 6000 задач с разбором решений и к другим сервисам YouClever и 100gia.

     

    Источник: https://youclever.org/book/ratsionalnye-uravneniya-1

Поделиться:
Нет комментариев

    Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Все поля обязательны для заполнения.